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专家解析公务员考试:排列组合问题之插板法
2009-10-23 10:49   来源:综合
 摘要:专家解析公务员考试:排列组合问题之插板法!

  文章摘要:插板法是用于解决相同元素分组问题,且要求每组均非空,即要求每组至少一个元素;若对于 可空问题,即每组可以是零个元素,又该如何解题呢?

  首先给各位公务员考友看一道题目:

  例1.现有10个完全相同的球全部分给7个班级,每班至少1个球,问共有多少种不同的分法?

  【解析】:题目中球的分法共三类:

  第一类:有3个班每个班分到2个球,其余4个班每班分到1个球。其分法种数为 。

  第二类:有1个班分到3个球,1个班分到2个球,其余5个班每班分到1个球。其分法种数 。

  第三类:有1个班分到4个球,其余的6个班每班分到1个球。其分法种数 。

  所以,10个球分给7个班,每班至少一个球的分法种数为: 。

  由上面解题过程可以明显感到对这类问题进行分类计算,比较繁锁,若是上题中球的数目较多处理起来将更加困难,因此我们需要寻求一种新的模式解决问题,我们创设这样一种虚拟的情境--插板。

  将10个相同的球排成一行,10个球之间出现了9个空档,现在我们用档板把10个球隔成有序的7份,每个班级依次按班级序号分到对应位置的几个球(可能是1个、2个、3个、4个),借助于这样的虚拟档板分配物品的方法称之为插板法。

  由上述分析可知,分球的方法实际上为档板的插法:即是在9个空档之中插入6个档板(6个档板可把球分为7组),其方法种数为 。

  由上述问题的分析解决看到,这种插板法解决起来非常简单,但同时也提醒各位考友,这类问题模型适用前提相当严格,必须同时满足以下3个条件:

  ①所要分的元素必须完全相同;

  ②所要分的元素必须分完,决不允许有剩余;

  ③参与分元素的每组至少分到1个,决不允许出现分不到元素的组。

  下面再给各位看一道例题:

  例2.有8个相同的球放到三个不同的盒子里,共有( )种不同方法.

  A.35 B.28 C.21 D.45

  【解析】:这道题很多同学错选C,错误的原因是直接套用上面所讲的插板法,而忽略了插板法的适用条件。例2和例1的最大区别是:例1的每组元素都要求非空,而例2则无此要求,即可以出现空盒子。

  其实此题还是用插板法,只是要做一些小变化,详解如下:

  设想把这8个球一个接一个排起来,即 ,共形成9个空档(此时的空档包括中间7个空档和两端2个空档),然后用2个档板把这8个球分成3组,先插第一个档板,由于可以有空盒,所以有9个空档可以插;再插第二个板,有10个空档可以插,但由于两个板是不可分的(也就是说当两个档板相邻时,虽然是两种插法,但实际上是一种分法),所以共 种。

  例3.(1)已知方程 ,求这个方程的正整数解的个数。

  (2)已知方程 ,求这个方程的非负整数解的个数。

  【解析】:(1)将20分成20个1,列出来:1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1在这20个数中间的19个空中插入2个板子,将20分成3部分,每一部分对应1的个数,按顺序排成 ; ; ;即是正整数解。故正整数解的个数为 ,解法非常简单。

  【解析】:(2)此题和例2的解法完全相同,请各位考友自己考虑一下。

  【王永恒提示】:今后我们利用插板法解决这种相同元素问题时,一定要注意空与不空的分析,防止掉入陷阱。例3的两题相比较,可以很明显地看出空与不空的区别。

  【王永恒总结】: 非空问题插板法原型为:设有 个相同元素,分成 ( )组,每组至少一个元素的分组方法共有 ;可空问题插板法问题原型为:设有 个相同元素,分成 ( )组,则分组方法共有 种方法。

  练习1.有10级台阶,分8步走完。每步可以迈1级、2级或3级台阶,有多少中走法?(答案为 )

  老子曰:夫物芸芸,各复归其根,归根曰静,静曰复命。在平时的学习中,我们应当学会寻找共性,寻找根源,从本质上理解归纳各种问题。

关键词:专家解析   公务员考试   排列组合      
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